Métodos topológicos en ecuaciones funcionales
La tesis que se presenta está enfocada en el estudio de ecuaciones diferenciales funcionales no lineales. Es decir ecuaciones de la forma. Lpxq (1) Npxq donde L es un operador diferencial y N es un operador no lineal que depende de toda la función x. Estos operadores están definidos en espacios de Banach, cuya elección depende del tipo de problemas que se quiera estudiar. Reformulando las ecuaciones como un problema de punto fijo, es posible obtener resultados de existencia utilizando el grado topológico de Leray-Schauder. Concretamente, los siguientes problemas fueron considerados en esta tesis: 1) Un sistema de ecuaciones diferencia/en diferencias. El sistema consta de dos ecuaciones, la primera es una ecuación diferencial con retardo y la segunda es una ecuación funcional no diferencial (no involucra derivadas de las funciones incognitas) también con retardos temporales. Este sistema proviene del estudio de poblaciones celulares estructuradas por edades y tiene importantes aplicaciones en la hematopoyesis y el estudio general de la dinámica sanguínea. El sistema de ecuaciones es una versión no autónoma del estudiado en [6]. Se prueba existencia de soluciones periódicas utilizando el grado topológico. Se analiza la estabilidad de las soluciones mediante una comparación con el caso autónomo. Por último, se establece un teorema de continuación que muestra la relación que guardan las soluciones periódicas del caso no autónomo con los equilibrios (constantes) del caso autónomo. 2) Un sistema abstracto de ecuaciones en resonancia. Se establece un resultado de existencia de soluciones periódicas del cual pueden obtenerse, como casos particulares, el conocido resultado de Lazer y Leach [38], así como muchas de sus extensiones: sistemas con condiciones de tipo Nirenberg, ecuaciones con retardo, etc. 3) Una versión abstracta de un resultado de afinidad de Krasnoselskii [36]. Los resultados de afinidad conectan el grado topológico de distintos operadores asociados a la misma ecuación. Un resultado de esta índole es presentado y se muestran múltiples ejemplos de aplicación que incluyen EDOs, EDDs y EDPs. 4) Una versi ́on abstracta del lema de Gronwall. Se presenta un resultado que recupera sobre espectros de operadores en latices de Banach, del cual se recupera el conocido le de Gronwall. Se deduce un resulto de unicidad para una amplia gama de ecuaciones emulando el cl ́asico resultado de unicidad para ODE’s.
| Main Author: | |
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| Other Authors: | |
| Format: | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis biblioteca |
| Language: | spa |
| Published: |
Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
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| Online Access: | https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7315_Epstein http://repositoriouba.sisbi.uba.ar/gsdl/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=aextesis&d=tesis_n7315_Epstein_oai |
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| Summary: | La tesis que se presenta está enfocada en el estudio de ecuaciones diferenciales funcionales no lineales. Es decir ecuaciones de la forma. Lpxq (1) Npxq donde L es un operador diferencial y N es un operador no lineal que depende de toda la función x. Estos operadores están definidos en espacios de Banach, cuya elección depende del tipo de problemas que se quiera estudiar. Reformulando las ecuaciones como un problema de punto fijo, es posible obtener resultados de existencia utilizando el grado topológico de Leray-Schauder. Concretamente, los siguientes problemas fueron considerados en esta tesis: 1) Un sistema de ecuaciones diferencia/en diferencias. El sistema consta de dos ecuaciones, la primera es una ecuación diferencial con retardo y la segunda es una ecuación funcional no diferencial (no involucra derivadas de las funciones incognitas) también con retardos temporales. Este sistema proviene del estudio de poblaciones celulares estructuradas por edades y tiene importantes aplicaciones en la hematopoyesis y el estudio general de la dinámica sanguínea. El sistema de ecuaciones es una versión no autónoma del estudiado en [6]. Se prueba existencia de soluciones periódicas utilizando el grado topológico. Se analiza la estabilidad de las soluciones mediante una comparación con el caso autónomo. Por último, se establece un teorema de continuación que muestra la relación que guardan las soluciones periódicas del caso no autónomo con los equilibrios (constantes) del caso autónomo. 2) Un sistema abstracto de ecuaciones en resonancia. Se establece un resultado de existencia de soluciones periódicas del cual pueden obtenerse, como casos particulares, el conocido resultado de Lazer y Leach [38], así como muchas de sus extensiones: sistemas con condiciones de tipo Nirenberg, ecuaciones con retardo, etc. 3) Una versión abstracta de un resultado de afinidad de Krasnoselskii [36]. Los resultados de afinidad conectan el grado topológico de distintos operadores asociados a la misma ecuación. Un resultado de esta índole es presentado y se muestran múltiples ejemplos de aplicación que incluyen EDOs, EDDs y EDPs. 4) Una versi ́on abstracta del lema de Gronwall. Se presenta un resultado que recupera sobre espectros de operadores en latices de Banach, del cual se recupera el conocido le de Gronwall. Se deduce un resulto de unicidad para una amplia gama de ecuaciones emulando el cl ́asico resultado de unicidad para ODE’s. |
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