Métodos topológicos para algunas ecuaciones diferenciales funcionales resonantes no lineales
En esta tesis se estudia la existencia de soluciones de dos ecuaciones diferenciales funcionalesresonantes no lineales. Por un lado, se estudia existencia de al menos una soluciónde un problema de segundo orden con condiciones de Neumann bajo diferentescondiciones impuestas a la no linealidad, con la particularidad de que ésta depende de losvalores de la solución desconocida en el borde del dominio. Más precisamente, se pruebala existencia de al menos una solución adaptando a este tipo de problemas las condicionesclásicas de Landesman-Lazer para el caso escalar y para el caso de un sistema, la condiciónde Nirenberg. Por otro lado, se estudia un problema de primer orden con una nolinealidad que depende de varios retardos variables. Más precisamente, se prueba unresultado de existencia de al menos una solución periódica positiva para el caso escalary para un sistema, y un resultado de estabilidad generalizando los obtenidos por otrosautores. En todos los problemas estudiados, las no linealidades están condicionadas ensus argumentos y se trata de problemas resonantes en el sentido de que el operador linealde diferenciación involucrado tiene núcleo no trivial. El principal método que se implementa,en cada caso, para probar existencia de solución se basa en la teoría del gradode coincidencia de Mawhin, el cual es una generalización del grado topológico de Leray Schauder. No obstante, existen problemas resonantes en los que el grado de coincidenciano se aplica; el problema de segundo orden bajo condiciones de Neumann en un dominiono acotado es un caso particular de ese tipo y se aborda recurriendo al método de las suby super soluciones ordenadas combinado con un argumento del tipo diagonal.
| Summary: | En esta tesis se estudia la existencia de soluciones de dos ecuaciones diferenciales funcionalesresonantes no lineales. Por un lado, se estudia existencia de al menos una soluciónde un problema de segundo orden con condiciones de Neumann bajo diferentescondiciones impuestas a la no linealidad, con la particularidad de que ésta depende de losvalores de la solución desconocida en el borde del dominio. Más precisamente, se pruebala existencia de al menos una solución adaptando a este tipo de problemas las condicionesclásicas de Landesman-Lazer para el caso escalar y para el caso de un sistema, la condiciónde Nirenberg. Por otro lado, se estudia un problema de primer orden con una nolinealidad que depende de varios retardos variables. Más precisamente, se prueba unresultado de existencia de al menos una solución periódica positiva para el caso escalary para un sistema, y un resultado de estabilidad generalizando los obtenidos por otrosautores. En todos los problemas estudiados, las no linealidades están condicionadas ensus argumentos y se trata de problemas resonantes en el sentido de que el operador linealde diferenciación involucrado tiene núcleo no trivial. El principal método que se implementa,en cada caso, para probar existencia de solución se basa en la teoría del gradode coincidencia de Mawhin, el cual es una generalización del grado topológico de Leray Schauder. No obstante, existen problemas resonantes en los que el grado de coincidenciano se aplica; el problema de segundo orden bajo condiciones de Neumann en un dominiono acotado es un caso particular de ese tipo y se aborda recurriendo al método de las suby super soluciones ordenadas combinado con un argumento del tipo diagonal. |
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