Series aleatorias en espacios de funciones y algunas aplicaciones

El objeto de este trabajo es el estudio de ciertas series aleatorias ∑ Xi , con Xi variables aleatorias que toman valores en un espacio de funciones apropiado. Se le dará particular importancia al caso en que Xi = ai fi , donde {fi }i es un conjunto de funciones fijas, por ejemplo una base de algún espacio apropiado, y los coeficientes ai 's son variables aleatorias. Este tipo de resultados está relacionado con la posible representación de procesos estocásticos mediante series. Por ejemplo, si los ai 's son ciertas variables aleatorias independientes y {fi }i es un conjunto apropiado de funciones en L2 [0, 1], Itô de esta manera dió una construcción del proceso Browniano sobre el intervalo [0, 1] [39]. Se estudiarán los casos de series aleatorias con valores en espacios Lp separables y también se estudiará el caso de series convergentes en el espacio de distribuciones D′ (Rd ). En el caso de los espacios Lp separable, se estudiarán algunas relaciones entre los distintos tipos de convergencia, casi segura con respecto a la norma del espacio subyacente que estamos considerando, convergencia en media y en casi todo punto respecto al espacio producto, que surge de considerar a la variable aleatoria que toma valores en Lp como una función de dos variables. La elección de estos espacios está motivada por algunas aplicaciones. Si lo deseado es utilizar este tipo de desarrollos para construir un proceso estocástico, puede ser que para algunos casos "patológicos", sea mas conveniente considerar por ejemplo series convergentes en D′ (Rd ). Por ejemplo esto, finalmente, nos permitirá dar un 1 desarrollo en serie para la familia de procesos f , que en los últimos años han recibido cierto interés en las aplicaciones. De alguna manera estas representaciones tienen una similitud con el clásico teorema de Karhunen-Loève [27]. Una propiedad del desarrollo de Karhunen-Loève es que se obtiene una base ortonormal del espacio lineal generado por el proceso. Esto permite escribir ciertas aproximaciones en forma de series incondicionalmente convergentes. Esta útil propiedad se puede obtener bajo otras condiciones. Para resolver éste problema, al final, estudiaremos condiciones para las cuales una sucesión estacionaria forma un frame o una base de Riesz.